¿Cómo determinar el campo gravitatorio terrestre?

En esta entrada se plantea como determinar el campo gravitatorio terrestre, siguiendo los pasos de una investigación para descubrir los factores de los que depende un péndulo simple. Todo el texto, salvo ligeras modificaciones, está obtenido de Calatayud, M. L., Gil Pérez, D., Giner, F., Ortiz, E., Seco, E. y Sevilla, C. (1980). Trabajos prácticos de Física como investigaciones. Valencia: ICE de la Universidad de Valencia.

Planteamiento del problema

El problema que se plantea aquí es la determinación de los factores de que depende el periodo de un péndulo (objeto suspendido por encima de su centro de gravedad) al que se hace oscilar desplazándolo de su posición de equilibrio. Una vez conseguida la ley de dependencia del período del péndulo, se tratará de realizar una medida de la gravedad en la superficie terrestre.

Este tipo de movimientos pendulares aparecen a la observación ordinaria como periódicos y de hecho son utilizados para la medida del tiempo. El estudio de los factores de que depende el periodo de un péndulo se revela así como un problema de gran interés práctico. Conviene, como se ha hecho en otras ocasiones, plantear el problema de entrada, en su forma más simple. Este puede constituir una primera actividad a realizar por los propios alumnos.

Emisión de hipótesis

Actividad 1. Describir con la máxima precisión el tipo de péndulo más simple que se conciba de forma a facilitar un primer estudio como el que aquí se pretende.

En un principio los alumnos pueden probar a poner a oscilar distintos objetos, pero caerán en la cuenta de que un objeto suspendido se una cuerda es lo ideal. Además también se darán cuenta de que será mejor cuanto más pesado sea el objeto.

Las propuestas de los alumnos, profundizadas en la discusión general apuntan a la construcción de un péndulo formado por un pequeño objeto (esferita…) suspendido de un hilo «que no se estire» y cuya masa sea despreciable frente a la del objeto. Es fácil así introducir la idea del péndulo simple o matemático y dejar claro que su propuesta es una buena aproximación. Planteado ya el problema en forma suficientemente precisa, puede pasarse a la emisión de hipótesis.

Actividad 2. Señalar de qué factores cabe suponer que depende el periodo de un péndulo simple.

Los factores señalados son, habitualmente, la longitud del hilo, la masa de la esfera, el valor de o y la apertura angular. Como siempre, es preciso proceder a un análisis crítico de las hipótesis emitidas:

La longitud del hilo no plantea ningún problema y es aceptada por todos los alumnos.
La influencia de la masa de la esfera, por el contrario, es rechazada por algunos, dado que, en definitiva se trata de un movimiento debido al peso de dicha esfera, y todos los cuerpos, siempre que el rozamiento sea despreciable, caen con la misma aceleración. El argumento convence al resto de los alumnos, no obstante, conviene retener dicho factor para que la contrastación experimental verifique lo acertado de dicho razonamiento. Por otra parte, se puede considerar, tras esta discusión como una condición básica del experimento la utilización de esferas cuya caída no se vea sensiblemente alterada por el rozamiento.
El valor de la gravedad g no aparece en ocasiones de forma explícita incluyéndose, sin embargo, el «peso» de la esfera; pero la discusión realizada lleva a separar los dos factores incluidos en dicho peso y a hacer aparecer el valor de g. Al respecto de estos dos factores Puede plantearse la pregunta de ¿Importa que sea de plástico o de hierro? O ¿Importa que midamos aquí o en la Luna?
Por último, la inclusión de la apertura angular también es a menudo rechazada, sobre todo si se ha estudiado previamente el movimiento armónico simple. No obstante esta crítica a la inclusión del ángulo no siempre tiene lugar, lo que obliga a posponer la discusión de este factor a otro momento.
Los alumnos pueden proponer también la fuerza de lanzamiento, que es fácilmente rebatible solicitándoles que lo lancemos de más arriba; la influencia del viento, que complicaría demasiado el problema; la forma del péndulo, que descartamos porqué no consideramos el rozamiento.

¿Cómo varía T con cada una de esas variables?

$T^{+}=f(l^{+},\theta^{?},m^{?},g^{-})$

Pueden aparecer dudas con la dependencia del ángulo y de la masa, podemos dejarlo por saber.

Actividad 3. A partir de las hipótesis emitidas, según las cuales el periodo T de un péndulo simple seria función de su longitud l, su masa m, el valor de g y el ángulo desde el que se deja oscilar. Utilizar el análisis dimensional para establecer la forma de dicha relación.

$\left [ T \right ]=s; \left [ l \right ]=s;\left [ g \right ]=m/s^{2};\left [ m \right ]=kg$

Al obtener:

$T=constante\cdot\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot f(\theta)$

los alumnos ven fortalecida su hipótesis de que el periodo no depende de la masa, y, por otra parte, ven facilitado el análisis de los resultados en cuanto a la dependencia de T respecto a l y g.

Un segundo nivel de profundización estriba en asimilar el movimiento del péndulo a un movimiento armónico simple y deducir, de acuerdo con ello, el valor del periodo.

Actividad 4. Teniendo en cuenta que en un péndulo la fuerza recuperadora (ver figura) es

$F=-mg\cdot sin\theta$

y que para pequeños ángulos el seno del ángulo es despreciable, probar que

$F=-k\cdot x$

,donde x es la elongación (arco descrito a partir de la posición de equilibrio) y deducir el valor del período de dicho movimiento

Fuerzas que actúan sobre un péndulo simple

Los alumnos deducen fácilmente que

$F=\frac{-mgx}{l}$

lo que permite obtener para el período

$T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$

, expresión según la cual el período, no sólo no dependería de m, sino que tampoco dependería del ángulo (al menos, es importante señalarlo, para ángulos pequeños, que es la condición bajo la que es válida la deducción realizada). Y se confirma de nuevo, por otra parte, la forma de dependencia de T respecto a l y g.

Diseño experimental

Actividad 5. Diseñar un experimento para la contrastación de las hipótesis emitidas. Considerar en particular la forma de proceder a la medida del período.

La idea general del montaje es sencilla, se trata de construir un péndulo aproximadamente simple e ir variando cada uno de los factores, manteniendo fijos los demás. Ello no presenta, en principio, dificultades, exceptuando lo que se refiere a g. Las propuestas de los alumnos a este respecto, aunque válidas, son escasamente viables: “Trasladar el péndulo a lugares donde g tome distintos valores», “tomar medidas del período a distintas alturas de una montaña! . Surge así la idea de que varios investigadores, situados en lugares en los que g toma distintos valores conocidos realicen el experimento con un péndulo idéntico y se comuniquen los resultados. Ello permite insistir una vez más en el aspecto colectivo, social, del trabajo científico, etc., etc.

Desde el punto de vista técnico aparecen pequeños problemas, como la forma de determinar la longitud del péndulo (desde el punto de suspensión al centro de la esfera).

Pero el más relevante es el que se refiere a la medida del período: inicialmente las propuestas apuntan a la medida directa de una oscilación. Las dificultades que ello plantea llevan a sugerir la medida del tiempo t en oscilaciones, con lo que el periodo T valdría:

$T={\frac{t}{n}}$

Es preciso entonces llamar la atención sobre la hipótesis implícita en este procedimiento: la de que el período se mantiene constante, no depende del ángulo, que ha ido disminuyendo. La elucidación de esta cuestión adquiere así carácter prioritario, puesto que la posibilidad de medir con precisión el período depende de la misma. Puede plantearse a este respecto la siguiente actividad:

Actividad 6. Concebir alguna forma sencilla de averiguar si el periodo de un péndulo depende o no del ángulo de apertura.

Entre otras propuestas puede retenerse la de dejar oscilar un péndulo y medir el tiempo de n oscilaciones a ciertos intervalos (de forma que el ángulo haya variado sensiblemente). Efectuando esta operación queda patente que el periodo de un péndulo no varía con el ángulo (siempre que este no sea muy grande). Se ha iniciado así la contrastación experimental al tiempo que se resuelve el problema de cómo medir el periodo. Puede pues pasarse seguidamente a la contrastación de las restantes hipótesis.

Actividad 7. Proceder a la realización del experimento, tratamiento de datos obtenidos e interpretación de resultados.

Puede comprobarse que el ángulo no influye utilizando para la misma longitud, distintos ángulos y viendo que el período no varía.

Interpretación de los resultados

Actividad 8. ¿Cómo sabemos si el experimento verifica nuestras hipótesis?

La relación del experimento no ofrece ahora dificultades. Los alumnos pueden constatar fácilmente la no influencia de la masa y la relación entre el periodo y la longitud, que se ajusta a la predicha (construyendo para ello la gráfica de $T$ frente a $\sqrt{L}$ o $T^2$ frente a $L$ ). El profesor puede proporcionar, como ya hemos dicho, una tabla de valores de T y g que permite a los alumnos la construcción de la gráfica frente a , obteniendo una línea recta como predice la hipótesis.

Perspectivas

Actividad 9. Utilizar los valores de la gráfica $T^2$ frente a $l$ , para calcular el valor de g en el laboratorio.

Los resultados obtenidos en esta actividad y en el conjunto de la práctica son francamente aceptables y la convierten en un ejemplo bastante completo de pequeña investigación.